Изучал естественные науки и филологию в Геттингене и Лейпциге. В 1762-1767 годах работает в Ганновере писарем, затем секретарем в библиотеке. В 1764 году Распе опубликовал латинские сочинения Лейбница, посвятив их Герлаху Адольфу фон Мюнхгаузену (1688-1770), родственнику своего будущего героя, ганноверскому министру в Лондоне, основателю и куратору университета в Геттингене. В 1766 году издал один из первых рыцарских романов «Хермин и Гунильда». В 1767 году становится профессором в Каролинуме и смотрителем антикварного и монетного кабинета, где занимает место второго библиотекаря в Касселе у местного ландграфа. Путешествуя по Вестфалии, посвящает много времени поискам старых рукописей, редких вещей и монет для ландграфских коллекций. В 1785 году Распе выпускает первого «книжного» «Мюнхгаузена» (первые опубликованные истории появились в немецком «Путеводителе для веселых людей», 1781, 1783). Заслуга Распе заключается в обработке сюжетов, восходящих к фольклорным, античным и восточным анекдотам, которые группируются вокруг барона К. Ф. Мюнхгаузена, служившего в русской армии, и превращении его в цельное произведение, объединенное единым рассказчиком и обладающее законченной структурой. В этой книге на первое место выдвигается идея наказания лжи, а сама книга построена как типично английское произведение, где все события связаны с морем. Английский вариант приключений Мюнхгаузена (немецкий вариант-переработка написан немного позднее немецким поэтом Г. А. Бюргером) сориентирован на жителей британских островов и содержит ряд эпизодов, интересных и наиболее понятных именно англичанам.
В 1791 году издает на французском и английском языках каталог коллекции Джона Таффи. Значение Распе для развития немецкой литературы второй половины 18 века заключается в том, что именно он направил интерес своих соотечественников к древней германской (скандинавской) поэзии. Ему принадлежит также заслуга пробуждения интереса к Библии как к одному из древнейших произведений мировой литературы. Автор большого количества статей по археологии, сборника «Лживых или вымышленных историй» («Lugengeschichten») Мюнхгаузена.