Разры́вная фу́нкция — функция, имеющая разрыв в некоторых точках (см. Разрыва точка). У функций, встречающихся в применениях математики, точки разрыва обычно изолированы, но существуют функции, для которых все точки являются точками разрыва, например функция Дирихле: f (x) = 0, если х рационально, и f (x) = 1, если х иррационально. Предел всюду сходящейся последовательности непрерывных функций может быть разрывной функцией и называются функциями первого класса по Бэру. Французский математик Р. Бэр дал классификацию разрывным фукциям, важным классом которых являются измеримые функции. А. Лебег построил теорию интегрирования разрывных фукций. Н. Н. Лузин показал, что путем изменения значений измеримой функции на множестве сколь угодно малой меры ее можно превратить в непрерывную функцию. Если функция монотонна, то она имеет лишь разрывы 1-го рода. Для функций нескольких переменных наряду с отдельными точками разрыва приходится рассматривать линии, поверхности разрыва.