Действительное число

Действи́тельное число́ (вещественное число) — любое положительное, отрицательное число или нуль. Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные. Рациональные числа представимы как в виде рациональной дроби, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные числа — только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Строгая теория действительных чисел, которая позволяет определять иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита во второй половине 19 века трудами К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора. Множество всех действительных чисел называется числовой прямой и обозначается R. Это множество линейно упорядочено и образует поле по отношению к основным арифметическим операциям (сложение и умножение). Числовая прямая R подобна геометрической прямой, то есть между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Свойством числовой прямой является ее непрерывность. Принцип непрерывности числовой прямой имеет несколько формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области действительных чисел имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам. Теория действительных чисел является узловым вопросом математики. Свойства числовой прямой являются тем фундаментом, на котором строится теория пределов, а вместе с ней — математический анализ. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин.
Статья находится в рубриках
Яндекс.Метрика