Родился в семье винодела. В 1896 году вступил в Общество искусства и лит-ры, организованное К. С. Станиславским. С 1908 года Бурджалян — актер и режиссер московского театра миниатюр «Летучая мышь». В 1913-1917 гг. работал в Театре Корша актером и режиссером. В 1919-1921 гг. — режиссер театра в Ростове-на-Дону. В начале 1920-х гг. руководил армянской драматической студией, затем армянским театром в Тбилиси. В 1924-1927 гг. режиссер 1-го Государственного театра Армении в Ереване, в 1940-1943 гг. — Ленинаканского театра им. А. Мравяна.
Бурджалян был одним из основателей Армянского театра оперы и балета в Ереване, где в 1933-1938 гг. был главным режиссером. В историю армянского театра вошли его постановки «Мнимый больной» Мольера (1923), «Ревизор» Н. В. Гоголя (1923); «Собака садовника» Лoпe де Вeгa (1925), «Гамлет» (1924), «Венецианский купец» (1926), и «Отелло» (1926) У. Шекспира; «Храбрый Назар» Д. Демирчяна (1924) «Кум Моргана» Ширванзаде (1927). Своей деятельностью режиссер способствовал развитию армянской национальной драматургии. Он был подлинным реформатором армянской режиссуры, одним из первых ввел в художественную практику армянского театра работу над спектаклем по системе Станиславского, боролся за утверждение принципа целостного художественного ансамбля. Лучшие спектакли Бурджаляна отличаются высокой сценической культурой, выразительной формой, красочной театральностью, талантливым раскрытием содержания драматического произведения.