Бино́м Нью́тона — математическая формула вида \((a + b)^n\), выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых. Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3. При n = 4 получают формулу (а + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
Для целого положительного n формула имеет вид (1):
\((a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b{^2} + \binom{n}{3}a^{n-3}b{^3} + ... + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b{^n} \)
или вид (2):
\((a + b)^n = a^n +{n! \over1!(n-1)!}a^{n-1}b + {n! \over2!(n-2)!}a^{n-2}b^2 + ... + b^{n2}\)Для вычислений удобнее формула (3):
\((a + b)^n = a^n + na^{n-1}b + {n(n-1) \over 1*2}a^{n-2}b^2 + {n(n-1)(n-2)\over 1*2*3}a^{n-3}b3+...+b^n.\)
Пусть имеем выражение \((a + b)^n\), где n — дробное или отрицательное число. Пусть \(| a | >| b |. \)Представим \((a + b)^n\) в виде \(a^n(1 + x)^n\). Величина \(x = {b \over a}\)абсолютное ее значение меньше единицы. Выражение \((1 + x)^n\) можно вычислить с любой степенью точности по формуле (3).
\((a_1+a_2+a_3+ ... +a_k)^n = \sum {n! \over n_1! n_2! ... n_k!}a{_1^{n_1}}a{_2^{n_2}\dots a{_k^{n_k}}}\)n — целое положительное число.
Числа 1, n, \(n(n-1)\over 1*2\) называются биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты всегда являются целыми положительными числами. Крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2n. Сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b)n равна коэффициенту в разложении (а + b)n+1; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)3 дают коэффициенты 4, 6, 4 в формуле для (а + b)4. Пользуясь этим свойством, можно получить путем сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Результаты располагают в виде таблицы — треугольника Паскаля.
Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона, но он в 1676 году указал на возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя. Строгое обоснование указанных Ньютоном возможностей дал Н. Абель в 1826 году. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Бином Ньютона играет роль во многих областях математики, в частности в алгебре и теории чисел.
- М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. М: Наука, 1979.