Симметрия кристаллов

Отражения и вращения, приводящие многогранник в совмещение с самим собой, называются преобразованиями симметрии или симметричными операциями.

Воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых осуществляются эти отражения и вращения, называются элементами симметрии.

Для обозначения симметричных преобразований и соответствующих им элементов симметрии используют две системы обозначения — международную, принятую интернациональным союзом кристаллографов, и символику, основанную на формулах симметрии.

Плоскость симметрии — плоскость, которая делит фигуру на две части, расположенные друг относительно друга, как предмет и его зеркальное отражение. Обозначение: международное — m, по формуле симметрии — Р.

Пример: в кубе 3 взаимно перпендикулярные плоскости симметрии делят пополам противоположные ребра куба как координатные плоскости прямоугольной системы координат, а шесть плоскостей симметрии проходят по диагоналям граней куба. Все девять плоскостей симметрии куба пересекаются в одной точке — в центре куба. Плоскости симметрии располагаются в симметричной фигуре строго определенно, и все пересекаются друг с другом.

Поворотная ось симметрии —прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой. Обозначение: международное — n, по формуле симметрии — L_n. Соответственно двойная ось обозначается 2 или L₂, тройная — 3 или L₃, четверная — 4 или L₄; шестерная — 6 или L₆. Порядок оси симметрии n показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. У куба есть три оси 4-го порядка, которые проходят через центры противоположных граней, 4 оси 3-го порядка, являющиеся пространственными диагоналями куба и 6 осей 2-го порядка, проходящих через середины пар противоположных ребер. Все оси симметрии куба пересекаются в одной точке в центре куба.

Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства) — особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая прямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях. Симметричное преобразование в центре симметрии — это зеркальное отражение в точке. Обозначение: международное — 1, по формуле симметрии — С. Когда мы отражаем куб в плоскостях симметрии, зеркально отражаются все его точки, кроме находящихся на самой плоскости симметрии. Когда куб поворачивается вокруг разных осей симметрии, поворачиваются все точки, кроме точек, лежащих на самой оси симметрии. При отражении в центре симметрии остается одна точка, не отражающаяся, не смещающаяся, — сам центр. Отражение в плоскости, поворот вокруг оси симметрии, зеркальное отражение в центре симметрии представляют собой конечные или точечные симметричные преобразования. При этих преобразованиях фигура не перемещается как целое, и хотя бы одна ее точка остается на месте.

Полярным называется направление, концы которого геометрически и физически не эквивалентны, их нельзя совместить никакими преобразованиями симметрии.

Инверсионная ось симметрии — совместное действие оси вращения и одновременного отражения (инверсии) в центре симметрии.

Обозначение: международное — n, по формуле симметрии — L_n=L_ni.

Соответственно, тройная — 3 или L_3i, четверная — 4 или L_4i; шестерная — 6 или L_6i.

Внешняя, видимая симметрия кристаллов исчерпывающе описывается приведенными выше элементами симметрии и их сочетаниями.

Плоскости симметрии, оси симметрии простые и инверсионные, центр симметрии обнаруживаются в кристаллах в различных сочетаниях.

Формула симметрии состоит из записанных подряд всех элементов симметрии данного объекта. Например, обычная поваренная соль (хлористый натрий) кристаллизуется в форме кубов, алмаз, квасцы — в форме октаэдров. Полный набор элементов симметрии у этих разных многогранников один и тот же: девять плоскостей, три оси четвертого порядка, четыре оси третьего порядка, шесть осей второго порядка и центр симметрии. В формуле симметрии на первом месте принято писать оси симметрии от высших к низшим, на втором плоскости симметрии, затем центр. Формула симметрии куба 3L₄4L₃6L₂9PC.

Классом или видом симметрии какого-либо объекта называют полную совокупность операций симметрии этого объекта. Все многообразие симметрии кристаллических многогранников и их физических свойств описывается 32 классами симметрии.

По симметрии и числу единичных направлений кристаллы делятся на три категории: высшую, среднюю и низшую.

Кристаллы высшей категории не имеют единичных направлений, У них обязательно есть несколько осей порядка выше, чем 2, в частности четыре оси 3, расположенные как пространственные диагонали куба. Это высокосимметричные кристаллы. Любому направлению в кристалле высшей категории соответствуют другие симметрично эквивалентные направления. Свойства кристаллов в направлениях симметрично эквивалентных должны быть одинаковыми, поэтому анизотропия свойств в кристаллах высшей категории выражена слабее всего. Многие физические свойства (электропроводность, теплопроводность, показатель преломления) в этих кристаллах изотропны как в аморфных веществах, а анизотропия других свойств (упругость, электрооптический эффект) гораздо слабее, чем у кристаллов других категорий. Внешняя форма кристаллов высшей категории, как правило, изометрична, т. е. развита примерно одинаково во все стороны, как куб, октаэдр, тетраэдр.

Кристаллы средней категории имеют одно особое направление, а именно: одна ось симметрии 3, 4 или 6, простая или инверсионная. Анизотропия физических свойств у этих кристаллов гораздо сильнее, чем у кристаллов высшей категории. Особенно заметно различие свойств вдоль и поперек главной оси симметрии. Характерные формы кристаллов средней категории — призмы, пирамиды и др.

К низшей категории относятся кристаллы, у которых нет осей симметрии порядка выше чем 2, а единичных направлений несколько. Это наименее симметричные кристаллы с ярко выраженной анизотропией свойств.

Три категории делятся на 7 сингоний. В сингонию объединяются те кристаллы, для которых одинакова симметрия элементарных ячеек и их структур и одинакова система координат.