Диофа́нтовы приближе́ния — раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными числами, а в более широком смысле, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Диофантовы приближения названы в честь древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — диофантовых уравнений.
Методы теории диофантовых приближений основаны на применении непрерывных дробей, рядов Фарея, принципа Дирихле.
Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трех методов и особенно с применением непрерывных дробей. Исследования о приближении действительных чисел рациональными дробями принадлежат А.А. Маркову-старшему. Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями. Среди теорем о приближенном решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи диофантовых приближений) наиболее известна теорема Л. Кронекера. Для решения многомерных задач диофантовых приближений плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А.Я. Хинчину построить систематическую теорию многомерных диофантовых приближений. Для теории диофантовых приближений значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решетку в n-мepном арифметическом пространстве. В конце 19 века Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории диофантовых приближений.
Вопросами нелинейных диофантовых приближений занимался И.М. Виноградов. Созданные им методы заняли центральное место в этой области теории чисел. Одной из задач теории диофантовых приближений является проблема приближения алгебраических чисел рациональными. К диофантовым приближениям относится теория трансцендентных чисел, в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами. Теория диофантовых приближений связана с решением диофантовых уравнений и с задачами аналитической теории чисел.
Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трех методов и особенно с применением непрерывных дробей. Исследования о приближении действительных чисел рациональными дробями принадлежат А.А. Маркову-старшему. Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями. Среди теорем о приближенном решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи диофантовых приближений) наиболее известна теорема Л. Кронекера. Для решения многомерных задач диофантовых приближений плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А.Я. Хинчину построить систематическую теорию многомерных диофантовых приближений. Для теории диофантовых приближений значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решетку в n-мepном арифметическом пространстве. В конце 19 века Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории диофантовых приближений.
Вопросами нелинейных диофантовых приближений занимался И.М. Виноградов. Созданные им методы заняли центральное место в этой области теории чисел. Одной из задач теории диофантовых приближений является проблема приближения алгебраических чисел рациональными. К диофантовым приближениям относится теория трансцендентных чисел, в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами. Теория диофантовых приближений связана с решением диофантовых уравнений и с задачами аналитической теории чисел.