Гомоморфизм

Пусть заданы группа G и группа H. Пусть каждому элементу α из группы G сопоставлен некоторый элемент β из группы H, т.е. дано отображение группы G в группе H. Отображение ϕ является гомоморфным или гомоморфизмом G в H, если произведению элементов из G соответствует произведение их образов, т.е.

ϕ (g₁, g₂) = ϕ (g₁) ϕ (g₂),

где ϕ (g) – образ g ϵ G при отображении ϕ

Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
Автоморфизм — изоморфизм в само множество

Пусть заданы группа G с операцией × и группа H с операцией • . Пусть g₁ и g₂ элементы группы G с групповой операцией ×.

Пусть F - отображение группы G в группу H. Тогда F(g₁) и F(g₂) - элементы группы H, в которые при отображении F переходят элементы g₁ и g₂ группы G соответственно.

F является гомоморфизмом при условии F(g₁)•F(g₂)=F(g₁×g₂).

Если образами элементов g₁, g₂ и g₃ = g₁×g₂ группы G являются элементы группы H:
F (g₁) = h₁, F (g₂) = h₂ и F (g₃) = h₃ соответственно, то F является гомоморфизмом при условии h₁•h₂ = h₃.

При гомоморфном отображении F возможна ситуация, когда при несовпадающих g₁ и g₂ выполнено F (g₁) = F (g₂).

Например, если каждому целому числу поставить в соответствие его остаток от деления на данное натуральное число m, то получится гомоморфное отображение группы целых чисел (по сложению) на группу вычетов по модулю m. Последняя состоит из m элементов, представленных остатками 0, 1, ..., m — 1. Сумма двух элементов определяется как сумма двух остатков, или как та же сумма, уменьшенная на m.