Г. Брюнинг родился в семье виноторговца, умершего, когда ему еще не исполнился один год. Большое влияние на Генриха оказал его старший брат Герман Йозеф. Г. Брюнинг окончил гимназию Паулинум в Мюнстере, затем изучал юридическую науку в Мюнхенском университете. В 1906 году он уехал в Страсбург с целью изучения философии, истории, германистики и общественно-политических наук. Но и этого багажа знаний оказалось для него недостаточно, и Брюнинг уехал в Лондон, где продолжил изучение политических и экономических наук в местной Экономической школе; а затем в Бонн, где он, наконец, закончил свое обучение в 1915 году, защитив докторскую диссертацию. В том же 1915 году Брюнинг пошел добровольцем на фронт, был отмечен наградами и заслужил уважение солдат, избравших его в солдатский комитет, однако он не являлся сторонником ноябрьской революции 1918 года.
В 1920-1930 гг. Брюнинг занимал ответственные посты в католическом объединении профсоюзов. В 1924 году он был избран в рейхстаг, с 1929 стал лидером фракции партии Центра. В марте 1930 года президент П. фон Гинденбург назначил Брюннинга рейхсканцлером, надеясь по его собственным словам, на то, что в Германии будет, наконец «антипарламентское и антимарксистское» правительство. Между тем, 14 сентября 1930 года был выбран новый рейхстаг, в котором большое количество голосов рполучили национал-социалисты и коммунисты. Стоимость акций немецких предприятий на биржах резко упала, иностранные кредиты не предоставлялись, обострялся мировой экономический кризис.
В этих непростых условиях Брюнинг, используя тесные связи с Ватиканом, искал сближения с католическими кругами Франции, а также с консервативными кругами США и Великобритании. Запугивая западные державы тем, что в условиях острого экономического кризиса на Германию надвигается большевистская опасность, он добился от них ряда уступок: в 1931 году Германия получила на год отсрочку репарационных платежей, а в начале следующего года Брюнинг заявил, что Германия и вовсе не в состоянии платить по репарациям. Однако правительству Брюнинга так и не удалось решить главную проблему в стране — безработицу. При этом Гинденбург и его окружение отвергли предложенные Брюнингом чрезвычайные экономические программы. Все это привело к его отставке 30 мая 1932 года.
После прихода к власти национал-социалистов Брюнинг покинул Германию летом 1934 года. Через Швейцарию он эмигрировал в США, где получил профессорскую кафедру в Гарвардском университете. В 1952 году Брюнинг вернулся было в Германию, но остался недоволен политическим курсом К. Аденауэра. В 1954 году Брюнинг снова уехал в США и начал писать мемуары, которые вышли в свет лишь после его смерти в 1970 году.
Брюнинг был похоронен на Центральном кладбище своего родного города Мюнстера.