Родился в семье военного врача. Окончил с отличием Московское высшее техническое училище (1897). Подающий большие надежды инженер был оставлен на кафедре химической технологии неорганических веществ. Через некоторое время он был командирован для совершенствования в металлургии на заводы Урала и юга России, затем — на заводы и в университеты Европы. Вернувшись в 1904 году в Техническое училище, А. М. Бочвар организовал там впервые в Москве металлургическую, а в 1909 году —металлографическую лаборатории, начав исследования строения металлов и обучение студентов новой специальности «сплавы», стал читать курс металлографии (с 1917 профессор). Он привез из Франции металлографический микроскоп. Такой прибор в Москве появился впервые и, благодаря прекрасной оптике получавшиеся тогда фотографии структур по своему качеству мало отличались от современных.
Вначале ученый занимался исследованиями сталей и чугунов. В частности, именно он впервые предложил простую упрочняющую термообработку чугунов. Постепенно его интересы сместились в область металловедения цветных металлов. В 1918 году вышел его капитальный труд «Исследование белых антифрикционных сплавов», позволивший вместо множества, часто выбранных случайно составов баббитов (подшипниковых сплавов на основе олова и свинца) научно обоснованно подбирать их ограниченное число с заданными характеристиками.
Вначале ученый занимался исследованиями сталей и чугунов. В частности, именно он впервые предложил простую упрочняющую термообработку чугунов. Постепенно его интересы сместились в область металловедения цветных металлов. В 1918 году вышел его капитальный труд «Исследование белых антифрикционных сплавов», позволивший вместо множества, часто выбранных случайно составов баббитов (подшипниковых сплавов на основе олова и свинца) научно обоснованно подбирать их ограниченное число с заданными характеристиками.
В 1919 году А. М. Бочвар принимал активное участие в организации Московской горной академии, где до 1930 года был профессором. В 1930 году открылся новый Московский институт цветных металлов и золота, где А. М. Бочвар создал кафедру металловедения. Наиболее ценные работы проведены ученым по сталистым чугунам, термической обработке серых чугунов и кальциево-натриевых подшипниковых сплавов. Особенно следует отметить разработанный и внедренный им новый подшипниковый сплав Б-16, который долгое время являлся одним из основных стандартных сплавов в отечественном машиностроении и транспорте. А. М. Бочвар занимался исследованием свойств легких сплавов на базе алюминия и магния, а также разработкой новых композиций бронз и их технологией.
У профессора А. М. Бочвара было много учеников и последователей, из которых выросли руководители научных коллективов вузов, институтов Академии наук — специалистов цветной металлургии, авиационной, автомобильной и других отраслей промышленности. Одним из наиболее ярких продолжателей его деятельности стал его сын А. А. Бочвар, ставший в 30-40-е годы 20 века общепризнанным главой отечественной школы металловедения цветных металлов.