В 1874 году окончил медицинский факультет Московского университета со степенью лекаря с отличием. Спустя год утвержден ординатором при госпитальной хирургической клинике профессора И. Н. Новацкого. В 1877 году работал на фронте во время Русско-турецкой войны. Затем работал на кафедре топографической анатомии профессора Н. В. Воронцовского, был в научной командировке за границей. В 1884 году был избран и утвержден в звании доцента на кафедре оперативной хирургии и хирургической анатомии Московского университета, а в 1885 году утвержден профессором той же кафедры. С 1884 года А. А. Бобров — консультант при хирургическом отделении Басманной больницы. Здесь он впервые начинает читать лекции по клинической хирургии. В 1893 году, после отъезда в Петербург Н. В. Склифосовского, А. А. Бобров становится профессором факультетской хирургической клиники при Московском университете.
В 1892 году А. А. Бобров предложил метод оперирования свободных грыж. Он сконструировал аппарат для подкожного вливания солевого раствора, названный его именем. А. А. Бобров был одним из инициаторов и активным организатором хирургических съездов. По его инициативе и при его непосредственном участии в Крыму (Алупка) был создан детский костнотуберкулезный санаторий, носящий его имя. А. А. Бобров является автором более 60 научных трудов, среди которых: «О механизме переломов трубчатых костей от действия пули и лечение огнестрельных переломов конечностей» (1880); «Курс оперативной хирургии и хирургической анатомии» (1890); «Руководство к хирургической анатомии» (1893); «Аппендицит и его лечение» (1896).