Бесконечно малая

Бесконе́чно ма́лая — переменная величина, стремящаяся к пределу, равному нулю. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Об отношении бесконечно малых величин иногда говорят, что они представляют так называемую неопределенность вида 0/0.

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось еще в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в 16 веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения. В 17 веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и все же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Метод бесконечно малых был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши в начале 19 века, который строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др. Метод бесконечно малых служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих бесконечно малые приращения изучаемых величин, и обращение к бесконечно малым является обычным приемом составления дифференциальных уравнений задачи.

Статья находится в рубриках