Чебыше́ва многочле́ны — система ортогональных многочленов на отрезке \([-1, 1]\), открытая П.Л. Чебышевым в 1854 году.
Многочлены Чебышева первого рода определяются формулой
\(T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\frac{2^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{1-x^2}\frac{d^{n}}{dx^{n}}[(1-x^{2})^{n-1/2}]\).
В частности,
\(T_0(x)=1,\)
\(T_1(x)=x,\)
\(T_2(x)=2x^{2}-1,\)
\(T_3(x)=4x^{3}-3x,\)
\(T_4(x)=8x^{4}-8x^{2}+1.\)
Многочлен Чебышева первого рода \(\frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)\) наименее отклоняется от нуля. Это означает, что среди всех многочленов степени \(n\) со старшим коэффициентом \(1\) именно максимум модуля
\(\max \mid \frac{1}{2^{n-1}}T_n(x) \mid\)
на отрезке \([-1, 1]\) имеет наименьшее значение, причём этот максимум равен \(\frac{1}{2^{n-1}}\).
Многочлены Чебышева \(y=T_n(x)\) удовлетворяют дифференциальному уравнению
\((1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0.\)
Для них справедлива рекуррентная формула
\(T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x).\)
Многочлены Чебышева второго рода определяются формулой
\(U_n(x)=\frac{\sin[(n+1)\arccos x]}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{2^{n}(n+1)!}{(2n+1)!}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\frac{d^{n}}{dx^{n}} \left [ (1-x^{2})^{n+1/2} \right ]\)
В частности,
\(U_0(x)=1,\)
\(U_1(x)=2x,\)
\(U_2(x)=4x^{2}-1,\)
\(U_3(x)=8x^{3}-4x,\)
\(U_4(x)=16x^{4}-12x^{2}+1.\)
Многочлены Чебышева \(y=U_n(x)\) удовлетворяют дифференциальному уравнению
\((1-x^{2})y''-3xy'+n(n+2)y=0.\)
Для них справедлива рекуррентная формула
\(U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x).\)
Многочлены Чебышева первого и второго рода связаны соотношением
\(U_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{dT_{n+1}(x)}{dx}\)