Топологи́ческое простра́нство в математике — обобщенное понятие метрического пространства; множество элементов любой природы, в котором тем или иным способом определены предельные соотношения. Предельные соотношения, наличие которых превращает данное множество Х в топологическое пространство, состоят в том, что для каждого подмножества А множества Х определено его замыкание, то есть множество [А], состоящее из всех элементов множества А и из предельных точек этого множества. Если множество является топологическим пространством, то его элементы, независимо от их действительной природы, принято называть точками данного топологического пространства. Ввести в данное множество Х топологию, или превратить данное множество Х в топологическое пространство — значит тем или иным способом указать замыкание [А] для каждого подмножества А множества Х. Точки множества [А] называются точками прикосновения множества А.
Каждое метрическое пространство может быть естественным образом превращено в топологическое пространство, поэтому, допуская некоторую неточность, говорят, что метрическое пространство является частным случаем топологического пространства. В частности, числовая прямая, евклидово пространство любого числа измерений, функциональные пространства могут служить примерами метрических и, следовательно, топологических пространств. Существует много способов вводить в данное множество Х топологию, то есть превращать его в топологическое пространство. Например, в случае метрических пространств топология вводится посредством вспомогательного понятия расстояния. В многих случаях топология в данное множество Х вводится посредством окрестностей: для каждого элемента (для каждой точки) множества Х некоторые подмножества множества Х выделяются в качестве окрестностей данной точки. В предположении, что окрестности определены, точка х объявляется точкой прикосновения множества А, если каждая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества А.