Роберт Стуруа родился в семье художника Р.И. Стуруа, окончил режиссерский факультет Тбилисского театрального института, с 1962 года работал в Тбилисском театре имени Шота Руставели, ученик Михаила Туманишвили. Первый большой успех молодому режиссеру принесла в 1965 году постановка спектакля «Сейлемский процесс» по пьесе А. Миллера. На сцене театра имени Руставели Роберт Стуруа со своими постоянными соавторами — художником Георгием Алекси-Месхишвили и композитором Гией Канчели, поставил ряд спектаклей, получивших широкое признание, как в Грузии, так и за ее пределами Грузии, в том числе «Кавказский меловой круг» Б. Брехта (1975) и «Ричард III» У. Шекспира (1979). В 1979 году Р.Р. Стуруа стал главным режиссером театра имени Руставели, с 1980 года был также и его директором, а в 1986 году — художественным руководителем театра. В 1976 году ему было присвоено звание засуженного деятеля искусств Грузии, в 1980 — народного артиста Грузии, в 1982 — народного артиста СССР.
С 1980-х годов Р.Р. Стуруа стал часто сотрудничать с театрами за пределами Грузии. В период перестройки общественный резонанс получила его постановка пьесы М.Ф. Шатрова «Брестский мир» (1988) на сцене Вахтанговского театра в Москве. Стуруа продолжил сотрудничество с российскими театрами и после получения независимости Грузией; в частности с Московским театром «Сатирикон», Московским театром Et Cetera, Большим театром в Москве. В 2000-х годах Р.Р. Стуруа выступил противником политики грузинского президента М.Н. Саакашвили, в августе 2011 года режиссер был уволен с поста художественного руководителя театра имени Руставели. Тогда же Р.Р. Стуруа был назначен главным режиссером Московского театра Et Cetera.