Учился в Киевском хореографическом училище (1937-1941), одновременно танцевал в Ансамбле народного танца УССР. В 1941-1946 годах выступал составе во фронтового ансамбля, в 1947-1948 годах — солист Ансамбля песни и пляски Советской Армии, в 1948-1966 годах — артист Москонцерта. Как танцовщик Сичкин отличался пластичностью и буффонадной легкостью.
С 1955 года работал в ансамбле литературной и театральной пародии «Синяя птичка» под руководством В.Ю. Драгунского, исполнял интермедии, был автором текстов, ставил танцевальные номера. Сичкин активно участвовал в работе Центрального дома работников искусств, участвовал в спектаклях театра-студии киноактера в Москве (1959-1960). Балетмейстер многих эстрадных номеров и программ, Сичкин ставил танцы в ряде драматических спектаклей московских театров, в том числе «Свадебное путешествие» В. А. Дыховичного и М. Р. Слободского (театр Сатиры), «Красные дьяволята» П. А. Бляхина, А. Л. Полевого, А. Н. Толбузина (театр имени Гоголя), «Проснись и пой» М. Дярфаша (театр Сатиры).
В 1960-х годах начал сниматься в кино. Широкую известность артисту принесла роль Бубы Касторского в фильмах «Неуловимые мстители» (1966) и «Новые приключения неуловимых» (1968). Снимался в фильмах «Интервенция» (1968), «На войне, как на войне» (1968), «Варвара краса — длинная коса» (1969). В начале 1970-х годов на Бориса Сичкина было заведено уголовное дело — его обвинили в том, что за концерты он получал больше денег, чем положено. В декабре 1973 года актер был арестован, а через год освобожден за отсутствием состава преступления. Однако возможности творческой деятельности были сужены, на новые роли в кино его не утверждали.
С 1979 года Сичкин жил и работал в США. Он снимался в Голливуде, в фильмах «Последние дни» и «Никсон» сыграл роль Брежнева. С середины 1990-х годов Борис Сичкин вновь снимался в отечественных кинолентах. В 1996 году вышла в свет его автобиографическая книга «Я из Одессы, здрасьте!».
- Медаль «За боевые заслуги» (1943)
- Медаль «За оборону Сталинграда»
- Медаль «За оборону Киева»
- Медаль «За освобождение Варшавы»
- Медаль «За освобождение Праги»
- Медаль «За взятие Кёнигсберга»
- Медаль «За взятие Берлина»
- Медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.»
- 1962 Капитаны Голубой лагуны
- 1963 Секретарь обкома
- 1964 До свидания, мальчики
- 1966 Неуловимые мстители
- 1966 Последний жулик
- 1968 Интервенция
- 1968 На войне, как на войне
- 1968 Новые приключения неуловимых
- 1969 Варвара-краса, длинная коса
- 1969 Золотые ворота
- 1970 А человек играет на трубе
- 1970 Любовь к трем апельсинам
- 1971 Тропой бескорыстной любви
- 1972 Золотые рога
- 1972 Последние дни Помпеи
- 1973 Неисправимый лгун
- 1987 Sweet Lorraine
- 1990 Плохая квартира — композитор
- 1991 Super
- 1995 Никсон / Nixon
- 1997 Бедная Саша
- 2000 Марш Турецкого. Убийство на Неглинной
- 2001 Третья смена, серия «After Time»
- 2001 ПМЖ