По окончании средней школы Андрей Краско работал монтировщиком декораций в Ленинградском театре имени Комиссаржевской. Затем он поступил в Ленинградский институт театра, музыки и кино, учился в мастерской Аркадия Кацмана и Льва Додина. По окончании вуза Краско был распределен в Томский театр юного зрителя, где проработал сезон 1979 года. В том же году актер дебютировал в кино, сыграв небольшую роль шофера в фильме «Личное свидание». Затем он вернулся в Ленинград, был принят труппу Ленинградского театра имени Ленинского комсомола. В 1980 году Краско сыграл свою вторую роль в кино — эпизод в фильме Динары Асановой «Никудышная». В 1982 году на сцене театра имени Ленинского комсомола состоялась премьера спектакля «Кукарача», в котором Андрей Краско сыграл заглавную роль участкового милиционера. Этот образ показался властям не соответствующим советской действительности. Спектакль был закрыт, а исполнитель главной роли — призван в ряды Советской армии. Из-за этого актер не смог воспользоваться приглашением Динары Асановой принять участие в съемках фильма «Пацаны».
Службу Андрей Краско проходил в войсках противовоздушной обороны в Архангельской области, занимался культурной работой — оформлял ленинские комнаты, готовил концерты. После демобилизации устроиться в какой-либо из ленинградских театров актеру не удалось, пришлось уехать в Димитровград. В 1986 году Краско вернулся в родной город, единственной актерской работой долгое время были только небольшие роли в кино. В конце 1980-х — начале 1990-х годах ему пришлось зарабатывать на жизнь частным извозом, пошивом одежды, торговлей.
Отечественному зрителю актер стал известен по роли сотрудника спецслужб Андрея Ивановича Краснова из телевизионного сериала «Агент национальной безопасности» (1998). Предполагалось, что герой Краско будет занимать в фильме второстепенную роль, подыгрывая главному герою — Лехе Николаеву в исполнении Михаила Пореченкова. Однако, сразу же выявилась неординарность, самобытность характера героя Краско, его способность приковывать к себе внимание зрителей. Со временем из второстепенной фигуры этот персонаж вырос в полноценного главного героя, а тандем Пореченков-Краско стал одним из самых лучших на отечественном телевизионном экране конца 1990-х — начала 2000-х годов.
Уверенный профессионализм, яркая характерность Андрея Краско не остались незамеченными в возрождающемся российском кинематографе. Начиная с 1998 года, он работал в кино очень много, снимался в главных и второстепенных ролях, у известных и начинающих режиссеров. В год он успевал поработать в десятке фильмов. К числу наиболее известных ролей в кино относятся: прапорщик Ильич («Блокпост», 1998), следователь Шмаков («Олигарх», 2002), рассказчик («Копейка», 2002), майор Лукашин («Диверсант», 2004), Геннадий Янычар («72 метра», 2004), сосед («Жмурки», 2005), Сталин («Есенин», 2005), Стрельников («Гибель империи», 2005), парикмахер («Брежнев», 2005), командир полка («Девятая рота», 2005), сыщик («Ночной продавец», 2005), полковник Галкин («Грозовые ворота», 2006). Время от времени актер принимал участие в театральных антрепризах. Андрей Краско скончался в ночь на 5 июля 2006 года в Одессе, на съемках фильма «Ликвидация» от сердечной недостаточности; похоронен на кладбище поселка Комарово под Петербургом.