Александр Кибрик родился в семье художника Евгения Адольфовича Кибрика и его второй жены Лидии Яковлевны Тимошенко. В годы Великой Отечественной войны семья Кибриков жила в эвакуации, а в 1944 году обосновалась в Москве. Александр Кибрик окончил классическое отделение филологического факультета Московского университета (1961), его однокурсником был Сергей Аверинцев. В студенческие годы Кибрик увлекся новыми направлениями лингвистики, в частности семиотикой, посещал лекции на отделении теоретической и прикладной лингвистики. Под руководством П.С. Кузнецова он защитил дипломную работу на тему «Спектральный анализ гласных новогреческого языка».
По окончании университета Александр Кибрик работал в лаборатории экспериментальной фонетики Московского университета, а после создания кафедры структурной и прикладной лингвистики (1962) стал ее сотрудником, занимался принципами автоматической обработки текста для машинного перевода. В 1965 году он защитил кандидатскую диссертацию «Модель автоматического анализа письменного текста на материале ограниченного военного подъязыка» под руководством П.С. Кузнецова. С 1967 года А.Е. Кибрик принимал активное участие в лингвистических экспедициях по изучению языков народов СССР (Кавказ, Памир, Камчатка, Южная Сибирь), но особенно в Дагестане. Позднее ему было присвоено звание заслуженного деятеля науки Дагестана. В 1972 году А.Е. Кибрик опубликовал монографию «Методика полевых исследований». На материале бесписьменного арчинского языка ученый в 1976 году защитил докторскую диссертацию на тему «Структурное описание арчинского языка методами полевой лингвистики». В 1992 году А.Е. Кибрик был избран заведующим кафедрой теоретической и прикладной лингвистики филологического факультета Московского университета. Ученый был похоронен рядом с отцом на Новодевичьем кладбище в Москве.