Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее искомую функцию, ее производные (или дифференциалы) и независимые переменные, например dy = 2xdx. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в дифференциальное уравнение последнее обращается в тождество; в приведенном примере решением является всякая функция вида y = x2 + C, где С — любая постоянная. Процесс решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. При помощи дифференциального уравнения записываются реальные процессы, поэтому дифференциальные уравнения имеют значение для естествознания и техники.
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики, одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением. Простейшие дифференциальные уравнения встречались в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальное уравнение» ввел Лейбниц. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. Первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределенного интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона оправданным: в большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциального уравнения, а расчет течения процессов сводится к решению дифференциального уравнения.
Теория дифференциальных уравнений выделилась в самостоятельную дисциплину в 18 веке благодаря трудам Д. Бернулли, Ж. д'Аламбера, Л. Эйлера. Дифференциальные уравнения делят на «обыкновенные», содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с частными производными», содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок входящих в него производных.
Теория дифференциальных уравнений выделилась в самостоятельную дисциплину в 18 веке благодаря трудам Д. Бернулли, Ж. д'Аламбера, Л. Эйлера. Дифференциальные уравнения делят на «обыкновенные», содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с частными производными», содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок входящих в него производных.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1977.
- Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982.
- Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984.
- Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986.