Дифференциа́льная геоме́трия — раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со второй половины 19 века рамки дифференциальной геометрии расширились, включив изучение многомерных пространств. Дифференциальная геометрия является инструментом исследования в механике, теории относительности.
Главными объектами дифференциальной геометрии являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и поверхностей. Обычно в дифференциальной геометрии исследуются локальные свойства геометрических образов, которые присущи сколь угодно малой их части. Рассматриваются также и свойства геометрических образов в целом, например, свойства замкнутых выпуклых поверхностей. Геометрические объекты, изучаемые в дифференциальной геометрии, подчинены требованиям гладкости, которые выражаются в том, что функции, задающие объекты, не менее двух раз непрерывно дифференцируемы.
Одним из объектов исследований в дифференциальной геометрии являются семейства кривых и поверхностей. С семейством кривых (поверхностей) связано понятие огибающей — такой кривой (поверхности), которая касается всех кривых (поверхностей) семейства. Особенно детально в дифференциальной геометрии исследованы двупараметрические семейства прямых в пространстве — конгруэнции. Простейший пример конгруэнции — семейство параллельных прямых в пространстве. Истоком теории конгруэнций является геометрическая оптика.
Разделы дифференциальной геометрии посвящены изучению дифференциально-геометрических многообразий. Примерами таких многообразий могут служить кривые (одномерные многообразия), поверхности (двумерные многообразия), обычное евклидово пространство (трехмерное многообразие). Более сложным примером может служить четырехмерное многообразие, элементами которого являются прямые обычного евклидова пространства; прямая в декартовых координатах определяется уравнениями вида:
Разделы дифференциальной геометрии посвящены изучению дифференциально-геометрических многообразий. Примерами таких многообразий могут служить кривые (одномерные многообразия), поверхности (двумерные многообразия), обычное евклидово пространство (трехмерное многообразие). Более сложным примером может служить четырехмерное многообразие, элементами которого являются прямые обычного евклидова пространства; прямая в декартовых координатах определяется уравнениями вида:
z = ax + b, z = су + d;
числа a, b, с, d можно рассматривать как координаты этой прямой.
Возникновение дифференциальной геометрии связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа, которые к концу 18 века установили факты теории поверхностей. В начале 19 века К. Гаусс ввел обе основные квадратичные формы, доказал теорему об инвариантности полной кривизны относительно изометрических преобразований. Фактически им были заложены основы внутренней геометрии поверхностей. Построение основ классической теории поверхностей было завершено в середине 19 века основателем московской геометрической школы К.М. Петерсоном. В середине и во второй половине 19 века существенные результаты по классической теории поверхностей были получены Ф. Миндингом, Ж. Лиувиллем, Э. Бельтрами, Ж.-Г. Дарбу, Л. Бианки.
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М., 1956.
- Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. М., 1969.
- Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М., 1970.