Диофа́нтовы уравне́ния — алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Термин получил название в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В диофантовых уравнениях разыскиваются решения в алгебраических числах; также диофантовы уравнения называются неопределенными уравнениями. Простейшее диафантово уравнение ax + by = 1, где а и b — целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 — одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 — 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1). Другим примером диофантова уравнения является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n — целые числа (m> n > 0).
Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов диофантовых уравнений. Общая теория решения диофантовых уравнений первой степени была создана в 17 веке французским математиком К. Г. Баше. К началу 19 века трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, К. Гаусса было исследовано диофантово уравнение вида ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0, где а, b, с, d, е, f — целые числа, то есть общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что диофантово уравнение x2 — dy2 = 1 (уравнение Пелля), где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения ряда диофантовых уравнений. В исследованиях диофантовых уравнений степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты успехи в 20 веке. Б.Н. Делоне создал метод исследования, охватывающий узкий класс диофантовых уравнений, но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом решается диофантово уравнение вида ax3 + y3 =1. Существует ряд направлений теории диофантовых уравнений. Задачей теории диофантовых уравнений является теорема Ферма.