Родился в семье отставного немецкого солдата, переселившегося в Россию в 1740 году. В семь лет начал учиться в общественной немецкой школе, где на бедного, но способного мальчика обратил внимание ее ректор Рюдингер, освободивший его от платы за обучение. Позднее лютеранский пастор Нарвы, также благожелательно относившийся к старательному юноше, дал ему рекомендательное письмо к своему другу — лейб-медику немецкого происхождения И. З. Кёльхену, который был влиятельным лицом в медицинском мире Петербурга и курировал Калинкинское медико-хирургическое училище с преподаванием на немецком языке. Буш обучался в нем в 1785-1788 гг.
В связи с угрозой войны со Швецией возникла острая потребность войск в медицинских работниках и курс училища был выпущен досрочно. 26 мая 1788 года Буш получил аттестат, был призван в Военно-морской флот, служил на кораблях «Мечеслав», «Равноапостольный князь Владимир», «Минерва». 28 июня разыгралось одно из самых жестоких сражений в истории Балтийского флота, которое получило название Второго Роченсальмского сражения. В ходе боя «Минерва» получила повреждение и затонула. В живых остался 21 человек, среди которых был и Буш. Все они были взяты в плен и увезены в Стокгольм. После подписания 3 (14) августа 1790 года Верельского мирного договора между Россией и Швецией пленные были освобождены, и Буш возвратился в Петербург.
В 1790 году он стал прозектором и преподавателем госпитальной школы в Кронштадтском морском госпитале, а в 1793 году после пробной лекции «О глазе и слезном свище» был назначен руководителем кафедры анатомии, физиологии и хирургии Кронштадтского медико-хирургического училища. В 1797 году Буш возглавил кафедру анатомии и физиологии Калинкинского медико-хирургического училища.
В 1800 году И. Ф. Буш занял кафедру хирургии только что открывшейся Петербургской медико-хирургической академии, которой он руководил в течение 33 лет и которая теперь носит его имя, а с 1806 года возглавил и клинику хирургии академии. В то время клиника состояла из одной палаты с 13 кроватями, температура зимой доходила до 5 °С; здание было очень ветхое, ветер гулял по всей палате. Вечером работы в анатомическом театре производились при свете лучины. Через год после основания клиники в ней уже было 30 коек, а вскоре клиника была настолько улучшена, что даже иностранные врачи приезжали туда учиться, поступая в госпиталь в звании кандидатов. В сентябре 1809 года Буш получил почетное звание академика, а через месяц конференция академии возвела его в степень доктора медицины и хирургии.
И. Ф. Буш — основоположник первой русской хирургической школы и отечественной травматологии. Он является автором более 40 научных работ. В 1807 году он опубликовал свой главный научный труд — «Руководство к преподаванию хирургии», ставший первым русским учебным руководством по всем разделам хирургии. Буш создал замечательную школу ученых и хирургов, среди которых были И. В. Буяльский, Х. Х. Саломон, П Н. Савенко, В. В. Пеликан, Г. Я. Высоцкий, И .В. Рклицкий, С. Ф. Гаевский и многие другие. Медико-хирургическая академия учредила премию имени Буша и медаль, которая в течение ста лет ежегодно присуждалась лучшему из окончивших академию врачей.