Учился на юридическом факультете Петербургского и Московского университетов, но курса не окончил. Состоял чиновником особых поручений при самарском губернаторе, а впоследствии чиновником особых поручений при министре финансов. Бух принимал участие в революционном движении, в 1878 году издавал в Петербурге нелегальную газету «Начало». После суда над В. Засулич помогал ей скрываться от полиции. Бух поддерживал отношения с народнической организацией «Земля и воля». В феврале 1879 году он был арестован и пробыл в заключении полтора года. В 1881 году уехал в Париж, где прожил пять лет. В 1885 году получил разрешение вернуться в Россию, где за ним было установлено особое наблюдение и негласный надзор, прекращенный лишь в 1888 году. В 1892 году служил в Госбанке, в начале 1900-х гг. — член совета Петербургско-Азовского коммерческого банка. В 1900 году издавал газету « Петербургский Вестник», в 1904 — «Экономическую газету». Печатал статьи в журналах «Вестник Европы», «Народное Хозяйство» и др.
Первыми сочинениями Буха являются «Теория ценности» (1889) и «Деньги» (1891), давшие материал для соответствующих частей его главного труда: «Основные элементы политической экономии. Интенсивность труда, стоимость, ценность и цена товаров» (1902), изданного на русском и немецком языках. В нем автор дает самостоятельную теорию стоимости, ценности и цены товаров. Развивая свою теорию ценности и стоимости, Бух подверг серьезной критике теоретические воззрения К. Маркса. В своей работе он также поднял вопрос об интенсивности труда, которая по его мнению зависит не только от характера данной работы, но и от длины рабочего дня, а также от того, какую долю продукта получает рабочий: интенсивность труда тем выше, чем короче рабочий день, и чем выше доля рабочего в продукте (другими словами, чем выше его заработная плата).
В аграрном вопросе Бух отстаивал уничтожение частной земельной собственности и уравнительное распределение земли. Разделяя основные принципы аграрной программы эсеров, он выступал за социализацию земли, считая, что она может ликвидировать земельную ренту. Бух не проводил различия между абсолютной и дифференциальной рентой. Происхождение ренты он связывал с наличием частной собственности на землю и с эксплуатацией крестьян помещиками.
Бух также является автором книг «О государственных финансах» (1906); «Краткий курс политической экономии» (1907).