Родился в купеческой семье. Его отец, дед и прадед имели прямое отношение к керамике (отец построил паровой кафельно-изразцовый завод в Смоленске). Окончил смоленское Александровское реальное училище (1906). В 1910 году выполнил за четыре года пятилетнюю программу химического отделения Рижского политехнического института, а год спустя получил диплом первой степени по специальности органические красители и крашение. В 1912-1918 гг. работал на керамическом заводе в Кудинове (Электроугли). В 1918-1926 гг. преподавал в Иваново-Вознесенском политехническом институте (с 1919 профессор), В 1926-1941 гг. Будников — профессор Харьковского, а с 1944 — Московского химико-технологического института. В 1927 году он организовал в Харькове научно-исследовательскую лабораторию, в 1932 — Украинский НИИ силикатов (позднее – огнеупоров), в 1941 году, в Уфе — Отдел минерального сырья при АН УССР, в 1944 году в Москве – НИИ гипса (позднее — ВНИИ стройматериалов, которому было присвоено имя ученого в 1975 году).
П. П. Будников является автором около 1500 фундаментальных работ (в том числе монографий) по химии и технологии силикатов, комплексному изучению минерального сырья. Серия работ ученого относится к изучению реакций в твердых фазах, диаграмм состояния систем и механизма спекания и рекристаллизации высокоогнеупорных окислов и их соединений. Он создал новые виды вяжущих (ангидритовый (Сталинская премия, 1942), алитовый, гипсовый безобжиговый, глиноизвестковый, сульфатированные шлаковые цементы), огнеупорных (хромово-доломитовый, корундо-карборундовый, динасовый, шамотные окисные), изоляционных (кристаллокорунд) материалов, различные виды строительной и специальной керамики. Им были разработаны технологии вакуумирования глин, гидротермального синтеза цементов и безобжиговых строительных матлов, получения вспученного перлита, закристаллизованных стекол, высокоогнеупорных оксидов с температурами плавления выше 2000° С. Вместе с сотрудниками Будников разработал технологию производства высококачественных запальных свечей и корундовых огнеупорных изоляторов для двигателей внутреннего сгорания с форсированным режимом (Сталинская премия, 1950).
Последние двадцать лет жизни ученый занимался созданием изделий высшей огнеупорности из чистых оксидов (алюминия, бериллия, магния, кальция, циркония и др.), нитевидными кристаллами этих оксидов для изготовления деталей ракетных и реактивных двигателей, ядерных топливных элементов, металлорежущего инструмента, тормозных колодок тяжелых машин, улучшения свойств высоковольтного электротехнического фарфора и т. д.
Будников непосредственно участвовал в определении путей развития многих отраслей промышленности, в проектировании, строительстве и эксплуатации предприятий и сооружений.
Будников непосредственно участвовал в определении путей развития многих отраслей промышленности, в проектировании, строительстве и эксплуатации предприятий и сооружений.