Окончил Казанский университет (1930). В 1930-1947 гг. заведовал лабораторией в Государственном научно-исследовательском институте редких металлов. Педагогическая деятельность К. А. Большакова неразрывно связана с Московским институтом тонкой химической технологии имени М. В. Ломоносова, где он с 1933 года последовательно занимал должности ассистента, доцента, профессора, заведующего кафедрой химии и технологии редких элементов и созданной им проблемной лабораторией того же направления (в 1958-1971 гг. — ректор).
Основные исследования ученого посвящены изучению физико-химических основ извлечения и очистки редкоземельных и рассеянных элементов. К. А. Большаков участвовал в разработке технологии извлечения ванадия из железных руд Керченского месторождения (1933-1934) и титано-магнетитов Урала (1936- 1937), разработал технологию получения кобальта из отечественных полиметаллических руд (1935-1939), создал теоретические основы разработки процессов получения рассеянных элементов (галлия, индия, таллия, рения и германия), а также особо чистых веществ и полупроводниковых материалов. Он изучал процессы получения сурьмы и висмута методом осадительной плавки, хлорирующего и сульфатизирующего обжига кобальтоникелевых руд и продуктов их переработки, условия осаждения соединений редких элементов из растворов. Под редакцией К. А. Большакова было выпущено учебное пособие для вузов «Химия и технология редких и рассеянных элементов» (т. 1-2, 1965-1969).