Родился в семье преподавателя истории и литературы Василия Божнева, умершего, когда Борису не было и четырех лет. Воспитывался в семье отчима, адвоката Б. Л. Гершуна (1870-1954) . Рано увлекся поэзией, живописью, музыкой. После Октябрьской революции был отправлен родителями на учебу в Париж, однако бедственное материальное положение не позволило ему поступить в какое-либо высшее учебное заведение. Божнев работал переписчиком нот в нотном магазине, одновременно с этим продолжил литературные занятия (он писал свои первые стихи на нотной бумаге), активно участвовал в литературной жизни русского Парижа, был одним из создателей французско-русской авангардистской группы «Через», созданной в 1923 году. Во время Второй мировой войны Божнев переехал в Марсель, где вместе с женой несколько раз подвергался угрозам интернирования и ареста из-за еврейского происхождения жены и воспитавшей его семьи (в документах сам Божнев значился как Борис Гершун). В сентябре 1944 года они с женой просидели целую неделю в самодельной траншее под беспрерывным артобстрелом. После войны писатель жил на юге Франции, лишь иногда наведываясь в Париж и изредка поддерживая контакты с литераторами русского зарубежья. После того, как в 1947 году его жена была вынуждена уехать в Палестину к престарелой и больной матери, окружение Божнева становится полностью франкоязычным. Божнев в основном занимался рисованием и коллекционированием (в Марселе он создал музей деревянных ангелов и купидонов), но не переставал писать стихи. Последние годы своей жизни Божнев жил в семье художника-примитивиста Жильбера Пастора в Марселе, куда к нему изредка приезжала жена, и где он скончался от последствий тяжелого гриппа.
Б. Божнев начал публиковать свои стихи с 1920 года. Выход в свет его первого сборника стихотоворений «Борьба за несуществование» (1925) сопровождался громким скандалом в среде русской эмиграции, связанным с противоречивостью включенных в сборник стихотворений, резким контрастом между их классической формой и шокирующим содержанием, по духу близким «эстетике безобразного» и творчеству французских «проклятых поэтов». Нарочитый цинизм и нигилизм стихов поэта сочетался с мастерством и искренностью. Следующий сборник Божнева «Фонтан» (1927) — единый лирический цикл со сквозным образом фонтана, восходящим к знаменитому одноименному стихотворению Ф. И. Тютчева, подтвердил репутацию Божнева как «самого опытного и взыскательного» (Г. В. Адамович) из молодых парижских поэтов. Однако после выхода следующего сборника, «Silentium Sociologicum» (1936), забракованного критикой, Божнев отошел от активного участия в литературной жизни русского Парижа и вскоре окончательно порвал с эмигрантским литературным миром. Свои следующие книги он напечатал самостоятельно, ограниченным тиражом (цикл «Саннодержавие. Четверостишия о снеге», 1939; поэмы «Утешенность разрушения», 1939, «Элегия эллическая», 1940). После войны Божнев выпускает кустарным способом ряд поэтических книг — «Оратория для дождя, мужского голоса и тумана», «Фуга светлых следов», «Колокольный звон над «Царство Божие вокруг нас»», «Утро после чтения «Братьев Карамазовых»» (все 1948), «Уход солдат на русско-японскую войну», «Высоко белеющие строки и свист площади» (оба 1949). В 1959 году была окончена поэма «Чтоб дольше сна продлилось пробужденье» (при жизни автора не опубликована). В этих произведениях Божнев создал неповторимый поэтический мир, в котором причудливо перекрещиваются влияния французского авангарда конца 19 - начала 20 века, русского символизма и поэтов пушкинской плеяды. Усложненная архитектоника (зачастую напоминающая принцип организации музыкального произведения сонатного типа) и зыбкость сюрреалистических образов сочетаются с неподдельной искренностью лирического чувства и глубиной осмысления вечных законов человеческого бытия.