Чебышева многочлены

Чебыше́ва многочле́ны — система ортогональных многочленов на отрезке [-1, 1], открытая П.Л. Чебышевым в 1854 году.
Редактировать

Многочлены Чебышева первого рода

Многочлены Чебышева первого рода определяются формулой
T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\frac{2^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{1-x^2}\frac{d^{n}}{dx^{n}}[(1-x^{2})^{n-1/2}].
В частности,
T_0(x)=1,
T_1(x)=x,
T_2(x)=2x^{2}-1,
T_3(x)=4x^{3}-3x,
T_4(x)=8x^{4}-8x^{2}+1.
Многочлен Чебышева первого рода \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x) наименее отклоняется от нуля. Это означает, что среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 именно максимум модуля
\max \left \mid \frac{1}{2^{n-1}}T_n(x) \right \mid
на отрезке [-1, 1] имеет наименьшее значение, причём этот максимум равен \frac{1}{2^{n-1}}.
Многочлены Чебышева y=T_n(x) удовлетворяют дифференциальному уравнению
(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0.
Для них справедлива рекуррентная формула
T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x).
Редактировать

Многочлены Чебышева второго рода

Многочлены Чебышева второго рода определяются формулой
U_n(x)=\frac{\sin[(n+1)\arccos x]}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{2^{n}(n+1)!}{(2n+1)!}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\frac{d^{n}}{dx^{n}} \left [ (1-x^{2})^{n+1/2} \right ]
В частности,
U_0(x)=1,
U_1(x)=2x,
U_2(x)=4x^{2}-1,
U_3(x)=8x^{3}-4x,
U_4(x)=16x^{4}-12x^{2}+1.
Многочлены Чебышева y=U_n(x) удовлетворяют дифференциальному уравнению
(1-x^{2})y''-3xy'+n(n+2)y=0.
Для них справедлива рекуррентная формула
U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x).
Многочлены Чебышева первого и второго рода связаны соотношением
U_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{dT_{n+1}(x)}{dx}
Статья находится в рубриках
Яндекс.Метрика