Воспитанник футбольного клуба «Торпедо» (Кутаиси) Рамаз Шенгелия выступал за этот клуб в 1973-1976 годах, сыграл в 75 матчах, забил 39 голов. С 1977 года футболист играл за команду «Динамо» (Тбилиси), в 1978 году в составе тбилисского «Динамо» стал чемпионом СССР и был признан лучшим футболистом СССР. В 1979 году Шенгелия в составе тбилисского «Динамо» стал обладателем Кубка СССР. С 1979 года он выступал в составе сборной СССР, в 1180 году ему было присвоено звание мастера спорта международного класса (1980). В 1981 году футболист в составе тбилисского «Динамо» стал обладателем Кубка Кубков УЕФА, был вновь признан лучшим футболистом СССР, ему было присвоено звание заслуженного мастера спорта СССР. В 1982 году Рамаз Шенгелия в составе сборной СССР участвовал в чемпионате мира в Испании. За сборную СССР он выступал в 1979-1983 годах, сыграл 26 матчей, забил 10 голов. За тбилисское «Динамо» Рамаз Шенгелия выступал до 1988 года, сыграл в 283 матчах, забил 120 голов. В 1989 году он провел 13 матчей за шведский клуб «Хольмсунд», забил 2 гола. Рамаз Шенгелия окончил Грузинский институт физкультуры и юридический факультет Тбилисского университета (1986). С 1990 года он работал в Грузинской федерации футбола.