Обратная решетка

Обра́тная решетка, точечная трехмерная решетка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины.
Введение понятия обратной решетки и обратного пространства, сопряженных с прямой решеткой и прямым пространством, полезно при решении дифракционных задач физики твердого тела, оптики, структурного анализа, электронной микроскопии.
Обратная решетка, соответствующая любой прямой решетке, описывающей реальную структуру кристалла, строится следующим образом:
1.Если обычная прямая решетка построена на векторах трансляций a, b, c, то оси обратной к ней решетки a*, b*, c* определяются как векторные произведения:
a* = bc, b* = ca, c* = ab
2.Осевые параметры обратной решетки a*, b*, c* равны обратным величинам межплоскостных расстояний плоских сеток прямой решетки, нормальных к этой оси.
Т. е. вектор обратной решетки H*hkl нормален к каждой плоскости прямой решетки (hkl), а его длина определяется как величина, обратная межплоскостному расстоянию dhkl.
Решетка с вектором H*hkl, построенная на базисных векторах a*, b*, c* называется обратной решеткой, векторы a*, b*, c* — координатными векторами обратной решетки.
Каждой плоскости (hkl) прямой решетки отвечает в обратной решетке узел [[hkl]]*. Бесконечному семейству параллельных плоскостей hkl в пространстве прямой решетки соответствует в пространстве обратной решетки бесконечное семейство точек [[hkl]]* вдоль направления, нормального к этим плоскостям. Расстояния от этих точек от точки, принятой за начало координат в обратном пространстве, равны 1/d, 2/d, 3/d, …, где d=dhkl – расстояние между плоскостями hkl в прямой решетке. Обратная решетка определена в трехмерном обратном пространстве с размерностью «обратных длин».
Зоне плоскостей прямой решетки отвечает сетка из точек (узлов) обратной решетки, причем ось зоны прямой решетки нормальна к плоскости сетки обратной решетки. Прямой пространственной решетке из плоскостей hkl отвечает обратная трехмерная решетка из точек [[hkl]]*.
Основные векторы a*, b*, c* обратной решетки определяются также скалярными произведениями:
aa* = bb* = cc* = 1;
a*b = a*c = b*c = b*a = c*b = c*a = 0
Прямая и обратная решетка сопряжены взаимно, т. е. решетка, построенная на осях a, b, c, является обратной по отношению к решетке a*, b*, c*, а решетка, построенная на векторах a*, b*, c*, - обратной по отношению к решетке a*, b*, c*.
Редактировать

Физический смысл обратной решетки

Обратная решетка является важным математическим образом, находящим многочисленные применения в геометрической кристаллографии, в теории дифракции и структурном анализе кристаллов, в физике твердого тела.
Например, понятие обратной решетки используется для описания периодического распределения отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам. Отражение рентгеновских лучей от плоскостей структуры кристалла описывается формулой Вульфа-Брэгга (Брэгга-Вульфа условие), из которого следует, что при постоянной длине волны рентгеновского излучения λ большому межплоскостному расстоянию для семейства параллельных отражающих плоскостей d отвечает малый угол падения θ, т. е., чем больше межплоскостное расстояние, тем ближе направления отраженных лучей к направлению падающего пучка. Отражения рентгеновских лучей от бесконечно протяженных идеальных кристаллов должны быть точечными.
Каждый узел обратной решетки соответствует возможному отражению от плоскостей прямой решетки кристалла. Направление вектора обратной решетки H*hkl совпадает с направлением отражения от плоскостей hkl в прямой решетке, а n-ый узел обратной решетки в этом ряду отвечает отражению n-го порядка от этих плоскостей.
Статья находится в рубриках
Яндекс.Метрика