Дифференциа́л — в математике главная линейная часть приращения функции. Термин образован от латинского differentia — «разность». Если функция y = f(x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) функции f(x) можно представить в виде Δy = f ' (x0)Δx + R, где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член dy = f ' (x0)Δх в этом разложении называется дифференциалом функции f(x) в точке x0. Дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство Δy = dy + R показывает, в каком смысле дифференциал dy является главной частью приращения Δy.
Обобщением понятия дифференциала на вектор-функции занялись в начале 20 века французские математики Р. Гато и М. Фреше. Это обобщение позволило уточнить смысл дифференциала для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам привело к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления. Важную роль в этом обобщении сыграло понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L(x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству L(x' + х'' ) = L(x' ) + L(x'' ) для любых х' и х'' из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1, ..., xn} всегда имеет вид L(x) = a1x1 +... + anxn, где a1, ..., an — постоянные. Приращение ΔL = L(x + h) - L(x) линейной функции L(x) имеет вид ΔL = L(h), то есть зависит только от векторного приращения h, и при этом линейно. Функция f(x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если ее приращение Df = f(x + h) - f(x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L(h), то есть выражается в виде Δf = L(h) + R(h), где остаток R(h) при h→0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L(h) приращения Δf и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R(h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный дифференциал, то существует и слабый дифференциал, равный сильному дифференциал. Слабый дифференциал может существовать и тогда, когда сильный дифференциал не существует.
В случае f(x) = x из общего определения следует, что df = h, то есть можно приращение h считать дифференциалом аргумента x и обозначать dx. Если сделать переменной точку x, в которой определяется дифференциал df, то он будет функцией двух переменных: df(x; h). Считая h = h1 постоянным, можно найти дифференциал от дифференциала df(x; h1) как главную часть приращения df(x + h2; h1) — df(x; h1), где h2 — некоторое второе приращение x, не связанное с h1. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f(x; h1, h2) является функцией трех векторных аргументов x, h1, h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2: d2f(x; h1, h2) = d2f(x; h2, h1).
В случае f(x) = x из общего определения следует, что df = h, то есть можно приращение h считать дифференциалом аргумента x и обозначать dx. Если сделать переменной точку x, в которой определяется дифференциал df, то он будет функцией двух переменных: df(x; h). Считая h = h1 постоянным, можно найти дифференциал от дифференциала df(x; h1) как главную часть приращения df(x + h2; h1) — df(x; h1), где h2 — некоторое второе приращение x, не связанное с h1. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f(x; h1, h2) является функцией трех векторных аргументов x, h1, h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2: d2f(x; h1, h2) = d2f(x; h2, h1).