;

Равносильные уравнения

Равноси́льные уравне́ния — уравнения, имеющие одно и то же множество корней (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали). Так, из трех уравнений vx =2, 3х — 7 = 5, (х — 4)2 = 0 первое и второе — равносильные уравнения, а первое и третье — не равносильные уравнения (так как кратность корня х = 4 для первого уравнения равна 1, а для третьего равна 2). Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот же многочлен от х или умножить обе части на одно и то же число, не равное 0, то получим уравнение, равносильное данному: x2 — x +1= x — 1 и x2 — 2x + 2 = 0 — равносильное уравнение (к обеим частям первого прибавлен многочлен: — х + 1); 0, 01х2 — 0, 37х + 1 = 0 и x2 — 37x + 100 = 0 — также равносильное уравнение (обе части первого умножены на 100). Но если умножить или разделить обе части уравнения на многочлен степени не ниже 1, то полученное уравнение, вообще говоря, не будет равносильным данному: х — 1 = 0и (х — 1)(х + 1) = 0 — не равносильное уравнение (корень х = — 1 второго не является корнем первого). Понятие «равносильное уравнение» приобретает точный смысл, когда указано поле, в котором лежат корни уравнений.
Например, x2 — 1 = 0 и x4 — 1 = 0 — равносильное уравнение в поле действительных чисел (множество корней как для одного, так и для другого состоит из 2 чисел: x1 =1, x2 = —1). Но они не равносильные уравнения в поле комплексных чисел, так как второе имеет еще 2 мнимых корня: x3 = i, x2 = — i. Понятие равносильное уравнение можно применять и к системе уравнений. Например, если Р (х, у) и Q (x, у) — два многочлена от переменных х и у и а, b, с и d — числа (действительные или комплексные), то две системы: Р (х, у)= 0, Q (x, у) = 0 и aP (x, у) + bQ (x, y)= 0, cP (x, y)+ dQ (x, y)=0 равносильны тогда, когда определитель ad — bc ? 0.
Статья находится в рубриках
Яндекс.Метрика