А́лгебра (араб.) — часть математики, развивающаяся в связи с задачей записи алгебраических выражений о решении алгебраических уравнений. Иными словами — это раздел математики, посвященный изучению операций над элементами множеств произвольной природы, которые обобщают обычные операции сложения и умножения чисел.
Решение уравнений 1-й и 2-й степеней известно еще с древности. В 16 веке итальянскими математиками найдены решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
Немецким математиком Карлом Гауссом в 1979 году установлено, что всякое алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней (решений), действительных или мнимых.
В начале 19 века норвежский и французский математики Нильс Абель и Эварист Галуа доказали, что решения уравнений степени выше 4-й, вообще говоря, нельзя выразить через коэффициент уравнения при помощи алгебраических действий.
В современной алгебре изучается общая теория совокупностей, в которых определены алгебраические операции, аналогичные по своим свойствам действиям над числами. Такие операции могут выполняться, например, над многочленами, векторами, матрицами и т. д.
Существует традиционное разделение алгебры как раздела математики на следующие категории:
- Элементарная алгебра — изучает базовые понятия и исследует свойства операций с вещественными числами. Для записи алгебраических выражения и обозначения постоянных и переменных используются буквенные символы. Преобразования алгебраических выражений и уравнений производится по определенным правилам.
- Общая алгебра (абстрактная алгебра) занимается изучением различных алгебраических систем. Включает в себя теории таких алгебраических структур как группы, кольца и поля.
- Универсальная алгебра — подраздел общей алгебры, изучающий свойства, общие для всех алгебраических структур.
- Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Основными инструментами, используемыми в линейной алгебре являются определители, матрицы, сопряжение.
- Алгебраическая комбинаторика — область математики, в которой методы общей алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.
- История математики: в 3 т / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1975.
- Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979
- Скорняков Л. А. Элементы алгебры. М., 1980.